Question

3．设函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算k的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由题可知，切点为（1，e），
且$f'（x）=\frac{{{e^x}•x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，
所以，切线的斜率为k=f'（1）=0；
故切线方程为：y=e．
（2）可知，函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
由（1），$f'（x）=\frac{{{e^x}•x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$
令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得x＜0或0＜x＜1
故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），递减区间为（-∞，0），（0，1）．

点评 本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．