Question

19．在△ABC中，已知cosC+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的余弦公式，将cosAcosB+cosC=$\sqrt{3}$sinAcosB，变形为sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，即可求B．
（Ⅱ）由余弦定理可得 b²=1-3ac，利用基本不等式求出b≥$\frac{1}{2}$，再由b＜a+c=1，求出边b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得cosAcosB+cosC=$\sqrt{3}$sinAcosB，
即cosAcosB+cos[π-（A+B）]=$\sqrt{3}$sinAcosB．
cosAcosB-cos（A+B）=$\sqrt{3}$sinAcosB．
所以sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，两边除以sinA，得，tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3ac．
∵a+c=1≥2$\sqrt{ac}$，
∴ac≤$\frac{1}{4}$．
∴b²=1-3ac≥$\frac{1}{4}$，即b≥$\frac{1}{2}$．
再由b＜a+c=1，可得 $\frac{1}{2}$≤b＜1，故边b的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．