Question

20．已知圆F：x²+（y-1）²=1，动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切，与定圆F相外切．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线交曲线C于A，B，若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MB}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PF|=1+r．根据圆P与x轴相切，以及动圆P与定圆F在x轴的同侧，可得方程$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}=1+y$．从而可求动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+2，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$得x²-4kx-8=0，利用韦达定理，结合条件求出k，即可求直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PF|=1+r．
设P（x，y），根据圆P与x轴相切，以及动圆P与定圆F在x轴的同侧，可得r=y＞0，
所以，$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}=1+y$．…（3分）
化简得：x²=4y．
所以，动点P的轨迹C的方程为x²=4y（y＞0）．…（5分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+2
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$得x²-4kx-8=0…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}}\\{{x_1}+{x_2}=4k}\\{{x_1}{x_2}=-8}\end{array}}\right.$，…（10分）
所以$k=±\frac{1}{2}$
直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+2$或$y=-\frac{1}{2}x+2$．…（12分）

点评 本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．