Question

已知函数f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）若当x∈[

2

，

3

]时，n≤f（x）≤m恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据偶函数的定义建立方程关系即可，求实数a的值；
（Ⅱ）求出集合E以及λ的值，根据元素和集合的关系即可，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）判断函数的单调性，求出函数的最值，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
若函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），即

x2-(a+1)x+a

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
即-（a+1）=a+1，
则a+1=0，解得a=-1；
（Ⅱ）∵a=-1，∴f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

=

x2-1

x2

，
则集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={y|y=0或

3

4

}={0，

3

4

}，
又λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
∴λ∈E；
（Ⅲ）∵f（x）=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，
∴当x∈[

2

，

3

]时，函数f（x）为增函数，
∴f（

2

）≤f（x）≤f（

3

），即

1

2

≤f（x）≤

2

3

，
∴当m=

2

3

，n=

1

2

时，m-n取得最小值为

2

3

-

1

2

=

1

6

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及对数的基本运算，综合性较强，涉及的知识点较多．