Question

设函数f（x），g（x）满足下列条件：
（1）对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂）；
（2）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1．
下列四个命题：
①g（0）=1；
②g（2）=1；
③f²（x）+g²（x）=1；
④当n＞2，n∈N^*时，[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值为1．
其中所有正确命题的序号是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：既然对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），那么分别令x₁，x₂取1，0，-1
求出g（0），g（1），g（-1），g（2），然后令x₁=x₂=x可得③，再根据不等式即可得④

解答： 解；对于①结论是正确的．
∵对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂）
且f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，
令x₁=x₂=1，得[f（1）]²+[g（1）]²=g（0），∴1+[g（1）]²=g（0），∴g（0）-1=[g（1）]²
令x₁=1，x₂=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）-1]=0
解方程组

g(0)-1=[g(1)]2 g(1)[g(0)-1]=0

  得

g(1)=0 g(0)=1

 
对于②结论是不正确的，令x₁=0，x₂=-1，得f（0）f（-1）+g（0）g（-1）=g（1），∴g（-1）=0
令x₁=1，x₂=-1，得f（1）f（-1）+g（1）g（-1）=g（2），∴-1=g（2），∴g（2）≠1
对于③结论是正确的，令x₁=x₂=1，得f²（x）+g²（x）=g（0）=1，
对于④结论是正确的，由③可知f²（x）≤1，∴-1≤f（x）≤1，-1≤g（x）≤1
∴|fⁿ（x）|≤f²（x），|gⁿ（x）|≤g²（x）对n＞2，n∈N^*时恒成立，
[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ≤f²（x）+g²（x）=1
综上，①③④是正确的．
故选：D

点评：本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．