京剧是我国的国粹.是“国家级非物质文化遗产 .为纪念著名京剧表演艺术家.京剧艺术大师梅兰芳先生.某市电视台举办的比赛.并随机抽取100位参与比赛节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30.80]内).样本数据分组区间为[30.40).[40.50).[50.60).[60.70).[70.80].由此得到如图所示的频率分布直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家、京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取100位参与《我爱京剧》比赛节目的票友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[30，80]内），样本数据分组区间为[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若抽取的这100位参与节目的票友的平均年龄为53，据此估计表中a，b的值（同一组中的数据用该组区间的终点值作代表）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取20人，参与有关京剧知识的问答，分别求抽取的年龄在[60，70）和[70，80]的票友中人数；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中抽取的人数，从年龄在[60，80）的票友中任选2人，求这两人年龄都在[60，70）内的概率．

分析（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．
（Ⅱ）根据频率分布直方图的性质年龄能求出在[60，70）的票友和年龄在[70，80]的票友需抽取的人数．
（Ⅲ）设年龄在[70，80]岁的票友这A，在[60，70）岁的票友为a，b，c，d，则从中抽取从中抽取2人的基本事件总数有n=${C}_{5}^{2}$=10，利用列举法能求求出这两人年龄都在[60，70）内的概率．

解答解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得：
$\left\{\begin{array}{l}{（0.01+0.03+b+0.02+a）×10=1}\\{0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53}\end{array}\right.$，
解得a=0.005，b=0.035．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知样本年龄在[70，80）岁的票友共有0.05×100=5人，
样本年龄在[60，70）岁的票友共有0.2×100=20人，
样本年龄在[50，60）岁的票友共有0.35×100=35人，
样本年龄在[40，50）岁的票友共有0.3×100=30人，
样本年龄在[30，40）岁的票友共有0.1×100=10人，
∴年龄在[60，70）的票友需抽取20×$\frac{20}{100}$=4人，
年龄在[70，80]的票友需抽取5×$\frac{20}{100}=1$人．
（Ⅲ）设年龄在[70，80]岁的票友这A，在[60，70）岁的票友为a，b，c，d，
则从中抽取从中抽取2人的基本事件总数有n=${C}_{5}^{2}$=10，
这两人年龄都在[60，70）内的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种，
这两人年龄都在[60，70）内的概率P=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．