Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（n＞0，b＞0）上一点C，过双曲线的中心作直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k₁，k₂，当$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|取最小值时，双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由双曲线的对称性得B（-x₁，-y₁），从而得到k₁k₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln（k₁k₂），再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵点A，C都在双曲线上，
∴代入，两式相减，得：$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln（k₁k₂），
对于函数y=$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0），
由y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，
∴当x=2时，函数y=$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0）取得最小值，
∴当$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小时，k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
故选：D

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．