Question

数列{a_n}满足a₁=1，

1

2an+1

=

1

2an

+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•a_n+1，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由

1

2an+1

=

1

2an

+1可得：

1

an+1

=

1

an

+2，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）bn=anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）由

1

2an+1

=

1

2an

+1可得：

1

an+1

=

1

an

+2，
∴数列{

1

an

}是等差数列，首项

1

a1

=1，公差d=2．
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=2n-1．
∴an=

1

2n-1

．
（II）∵bn=anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1     = 1 2 ( 1 1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 )

= 1 2 (1- 1 2n+1 ) = n 2n+1

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．