Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}是等比数列，b₁=

1

2

，a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项，圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²，直线l：x+y=n，对任意n∈N^*，直线l都与圆C相切．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,直线与圆

分析：（Ⅰ）由圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圆心到直线l：x+y=n的距离等于半径得到数列递推式Sn=n2，n∈N^*，然后由an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1求得数列的通项公式；设等比数列{b_n}的公比为q，由a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项求得q=

1

2

，代入等比数列的通项公式求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，由错位相减法求得{c_n}的前n项和T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ） 圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圆心为（2n，

Sn

），半径为

2n

，对任意n∈N^*，直线l：x+y=n都与圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²相切．
∴圆心（2n，

Sn

）到直线l：x+y-n=0的距离d为

2

n．
∴d=

|2n+ Sn -n|

2

=

2

n，得

Sn

=n．
∴Sn=n2，n∈N^*，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1．
综上，对任意n∈N^*，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．
设等比数列{b_n}的公比为q，∴bn=b1qn-1=

1

2

qn-1，
a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项，a₅=9，S₆=16，b2=

1

2

q，
∴(9-1)2=64=16•

1

1 2 q

，解得q=

1

2

．
∴bn=b1qn-1=(

1

2

)n；
（Ⅱ）∵Tn=1•

1

21

+3•

1

22

+5•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n

，
∴

1

2

Tn=1•

1

22

+3•

1

23

+5•

1

24

+…+(2n-3)•

1

2n

+(2n-1)•

1

2n+1

．
两式相减得

1

2

Tn=1•

1

2

+2•

1

22

+2•

1

23

+…+2•

1

2n

-(2n-1)•

1

2n+1

．
即：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

)-(2n-1)•

1

2n+1

．
=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

．
=

1

2

+1-

1

2n-1

-(2n-1)•

1

2n+1

∴Tn=3-

1

2n-2

-(2n-1)•

1

2n

．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．