Question

已知a₁=2，a₂=4，b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2．求证：
（1）数列{b_n+2}是公比为2的等比数列；
（2）a_n=2ⁿ⁺¹-2n；
（3）a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ⁺²-n（n+1）-4．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由b_n+1=2b_n+2，变形为b_n+1+2=2（b_n+2），即可证明；
（2）由（1）可得：bn+2=4×2n-1，a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，利用“累加求和”及其等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 证明：（1）∵b_n+1=2b_n+2，∴b_n+1+2=2（b_n+2），
b₁=a₂-a₁=4-2=2．b₁+2=4．
∴数列{b_n+2}是公比为2的等比数列，首项为4；
（2）由（1）可得：bn+2=4×2n-1，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2ⁿ-2）+（2^n-1-2）+…+（2²-2）+2
=

2(2n-1)

2-1

-2（n-1）
=2ⁿ⁺¹-2n．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2n；
（3）a₁+a₂+…+a_n=

4(2n-1)

2-1

-2×

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺²-n（n+1）-4．

点评：本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．