Question

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+1=0，圆C关于直线x+y+1=0对称，圆心在第二象限，半径为2．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（-4，2）的直线l，圆C的圆心到l的距离为2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y+1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于2得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0，根据圆C的圆心到l的距离为2，列出式子求出k即可．

解答： 解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+1=0知圆心C的坐标为（-

D

2

，-

E

2

）
∵圆C关于直线x+y+1=0对称
∴点（-

D

2

，-

E

2

）在直线x+y+1=0上
即D+E=-2，①且

D2+E2-4

4

=4②
又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0
由①②解得D=2，E=-4
∴所求圆C的方程为：x²+y²+2x-4y+1=0
（Ⅱ）圆C：（x+1）²+（y-2）²=4
设直线l的方程为y-2=k（x+4），即kx-y+4k+2=0．
∵圆C的圆心到l的距离为2，
∴

|-k-2+4k+2|

k2+1

=2，∴k=±

2 5

5

∴所求方程为y-2=±

2 5

5

（x+4）．

点评：考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，正确运用圆心到直线的距离是关键．