Question

已知a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=1，则a+b+

a2+b2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于2（a²+b²）≥（a+b）²，可得a+b+

a2+b2

≥(1+

2

2

)(a+b)，又a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=1，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵2（a²+b²）≥（a+b）²，
∴a+b+

a2+b2

≥(1+

2

2

)(a+b)，
∵a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=1，
∴a+b+

a2+b2

≥(1+

2

2

)(a+b)(

1

a

+

1

b

)=(1+

2

2

)(2+

a

b

+

b

a

)≥

2+ 2

2

(2+2

a b • b a

)=4+2

2

，当且仅当a=b=2时取等号．
∴a+b+

a2+b2

的最小值是4+2

2

．
故答案为：4+2

2

．

点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．