Question

设抛物线y²=2px（p＞0）上有两动点M，N，F为焦点且|MF|，4，|NF|成等差数列，又线段MN的中垂线恒通过定点Q（6，0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上求一点P，使得以F，A（3，4）焦点且经过点P的椭圆长轴最短．
（3）求△MQN的面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得|MF|+|NF|=8．设M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）、线段MN的中点为E（x₀ y₀），则x₁+x₂+p=8=2x₀+p ①．求得MN的斜率K_MN=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，可得EQ的斜率为K_EQ=

-1

KMN

=-

y0

p

=

y0

x0-6

，可得 p=6-x₀ ②．再由①②求得p的值，可得抛物线的方程．
（2）由于|PF|+|PA|=2a，本题即在抛物线上找一点P，使P到F、A的距离之和最小．由于点F关于原点的对称点F′（-2，0），连接F′A，交抛物线于点P，
则|PF|+|PA|=|PF′|+|PA|=|F′A|=

41

，为|PF|+|PA|的最小值．把AF′的方程代入y²=8x，求得x、y的值，可得满足条件的点P的坐标．
（3）把直线MN的方程为y-y₀=

4

y0

 （x-2），代入y²=8x化简，由△＞0求得-4＜y₀＜4，且 y₁+y₂=2y₀，y₁•y₂=2y02-16．求得△MQN的面积 S=

1

2

|MN|•EQ=

1

4 2

•

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：（1）由题意可得F（

p

2

，0），|MF|+|NF|=8．
设M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）、线段MN的中点为E（x₀ y₀），
则x₁+x₂+p=8=2x₀+p ①．
又y12=2px₁，y22=2px₂，∴MN的斜率K_MN=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，
故MN的中垂线EQ的斜率为K_EQ=

-1

KMN

=-

y0

p

=

y0

x0-6

，可得 p=6-x₀ ②．
再由①②求得p=4，x₀=2，可得抛物线的方程为 y²=8x．
（2）由（1）可得F（2，0），由于椭圆以F，A（3，4）为焦点且经过点P，
故有|PF|+|PA|=2a，且长轴的长为2a．
本题即在抛物线上找一点P，使P到F、A的距离之和最小．
由于点F关于原点的对称点F′（-2，0），连接F′A，交抛物线于点P，
则|PF|+|PA|=|PF′|+|PA|=|F′A|=

(3+2)2+(4-0)2

=

41

，为|PF|+|PA|的最小值．
由于AF′的方程为

y-0

4-0

=

x+2

3+2

，把它代入y²=8x，求得

x=8 y=8

（舍去），或 

x= 1 2 y=2

，故满足条件的点P的坐标为（

1

2

，2）．
（3）由（1）可得K_MN=

4

y0

，E（2，y₀），故直线MN的方程为y-y₀=

4

y0

 （x-2），代入y²=8x，
化简可得y²-2y₀ y+2y02-16=0，由△＞0求得-4＜y₀＜4，且 y₁+y₂=2y₀，y₁•y₂=2y02-16．
∴|MN|=

1+( 1 KMN )2

•

(y1+y2)2-4y1•y2

=

1+( y0 4 )2

•

4y02-4(2y02-16)

=

1

2

(16+y02)(16-y02)

．
∴△MQN的面积 S=

1

2

|MN|•EQ=

1

4

(16+y02)(16+y02)(16-y02)

=

1

4 2

•

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

≤

1

4 2

•

( 64 3 )3

=

64 6

9

，
当且仅当16+y02=32-2y02 时，取等号，故△MQN的面积的最大值为

64 6

9

．

点评：本题主要考查抛物线的基本性质，运用不等式求最值作为一种思想渗透在各种题型中，经常与其他的知识结合起来考查．因此，一定要掌握不等式的基本性质，并能对其加以灵活运用，属于中档题．