题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞
）的右焦点F在圆D：（x-2）2+y2=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
| 10 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）已知及圆与x轴的交点即可得到椭圆的焦点，进而得到椭圆的标准方程．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系能求出m的值．
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系能求出m的值．
解答：
解：（1）圆D：（x-2）2+y2=1的圆心（2，0），半径r=1．
令y=0，得（x-2）2=1，解得x=3或1．
∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，a=
＜
，故舍去．
∴c=3，a2=b2+c2=3+32=12．
故椭圆的方程为
+
=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
，得（m2+4）y2+6my-3=0，
∴y1+y2=-
，y1y2=-
．
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=
+
+9
=
．
∵
⊥
，∴x1x2+y1y2=0，
∴
=0
解得m=±
．
令y=0，得（x-2）2=1，解得x=3或1．
∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，a=
| 3+1 |
| 10 |
∴c=3，a2=b2+c2=3+32=12．
故椭圆的方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 3 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
|
∴y1+y2=-
| 6m |
| m2+4 |
| 3 |
| m2+4 |
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=
| -3m2 |
| m2+4 |
| -18m2 |
| m2+4 |
=
| 36-12m2 |
| m2+4 |
∵
| OM |
| ON |
∴
| 36-12m2-3 |
| m2+4 |
解得m=±
| 11 |
| 2 |
点评：本题综合考查了：椭圆与圆的标准方程及其性质，把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系，三角形的面积计算公式，基本不等式的性质等．需要较强的推理能力和计算能力．
练习册系列答案
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