Question

已知f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）若h（x）的单调减区间是（

1

2

，1），求实数a的值；
（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设h（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈（0，

1

2

）．若h（x₁）-h（x₂）＞m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（

1

2

，1），建立导数关系即可，求实数a的值；
（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；
（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意得h（x）=x²-ax+lnx（x＞0），则h′(x)=

2x2-ax+1

x

(x＞0)
要使h（x）的单调减区间是(

1

2

，1)则h′(1)=h′(

1

2

)=0，解得a=3；
另一方面当a=3时h′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)，
由h'（x）＜0解得x∈(

1

2

，1)，即h（x）的单调减区间是(

1

2

，1)．
综上所述a=3．
（2）由题意得x²-ax≥lnx（x＞0），
∴a≤x-

lnx

x

(x＞0)．
设φ(x)=x-

lnx

x

(x＞0)，则φ′(x)=

x2+lnx-1

x2

，
∵y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．
∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．
∴φ_min=φ（1）=1∴a≤φ_min=1，即a∈（-∞，1]．
（3）由题意得h（x）=x²-ax+lnx（x＞0），则h′(x)=

2x2-ax+1

x

(x＞0)
∴方程2x²-ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)
又∵x1x2=

1

2

，
∴x2=

1

2x1

∈(1，+∞)，且ax1=2

x

2 1

+1，ax2=2

x

2 2

+1

而h(x1)-h(x2)=( x 2 1 -ax1+lnx1)-( x 2 2 -ax2+lnx2)=[ x 2 1 -(2 x 2 1 +1)+lnx1]-[ x 2 2 -(2 x 2 2 +1)+lnx2] = x 2 2 - x 2 1 +ln x1 x2 = x 2 2 - 1 4 x 2 2 -ln2 x 2 2 (x2＞1)

设ϕ(x)=x2-

1

4x2

-ln2x2(x＞1)，则ϕ′(x)=

(2x2-1)2

2x3

＞0(x＞1)，
∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，
∴ϕ(x2)＞ϕ(1)=

3

4

-ln2，即h（x₁）-h（x₂）＞

3

4

-ln2，
∴m≤

3

4

-ln2，
则m的最大值为

3

4

-ln2．

点评：本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．