Question

已知函数y=f（x）对任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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．
（1）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）直接利用函数单调性的定义进行判定，设在R上任意x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，判定f（x₂）-f（x₁）的符号即可得到结论；
（2）根据单调性可得函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解 （1）f（x）在R上是单调递减函数
证明如下：
令x=y=0，f（0）=0，令x=-y可得：f（-x）=-f（x），在R上任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
又∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．由定义可知f（x）在R上为单调递减函数．
（2）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．
∴f（-3）最大，f（3）最小．
f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

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）=-2．
∴f（-3）=-f（3）=2．
即f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定以及抽象函数的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．