Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且

F2M

=2

MH

，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意可表示出渐近线方程，进而可知F₂H的斜率，设出H的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则H的坐标可知，进而求得M的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

解答： 解：设F₂（c，0）相应的渐近线：y=

b

a

x，
则根据直线F₂H的斜率为-

a

b

，设H（x，

b

a

x），
将y=-

a

b

（x-c）代入双曲线渐近线方程求出x=

a2

c

，
则H（

a2

c

，

ab

c

），
由

F2M

=2

MH

，可得M（

c+2• a2 c

1+2

，

2• ab c

1+2

），
即有M（

c2+2a2

3c

，

2ab

3c

），
把M点坐标代入双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，
即

(c2+2a2)2

9c2a2

-

4a2

9c2

=1，整理可得c=

5

a，
即离心率e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．