Question

已知数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，a₁=b₁=2，a₂=b₂
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的 通项公式．
（Ⅱ）若对每个正整数k，在b_k和b_k+1之间插入a_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由式子求出a₂，由题意求出公比，根据等比数列的通项公式求出b_n，利用递推公式和累积法求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ，a_k=2k，由已知写出c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，讨论m=1、2，m≥3，求出T_m、2c_m+1，列出方程并整理，讨论方程的解，从而得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，a₁=2，a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），
所以a₁=

1

2

a₂，解得a₂=4，
因为数列{b_n}为等比数列，a₁=b₁=2，a₂=b₂，
所以数列{b_n}的公比是2，即b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
由a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*）得，
当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=

n-1

2

a_n（n∈N^*），
两个式子相减得，a_n=

n

2

a_n+1-

n-1

2

a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

，
当n=1时，

a2

a1

=

4

2

=2符合上式，
当n≥2时，

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上n-1个式子相乘得，

an

a1

=

n

1

，所以a_n=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ，a_k=2k，
由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，
则当m=1时，T₁≠2c₂，不合题意，当m=2时，T₂=2c₃，适合题意．
当m≥3时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1一定不适合题意，
从而c_m+1必是数列{b_n}中的某一项b_k+1，
则T_m=b₁+2+2+b₂+2+2+2+2+b₃+2+…+2+b₄+2+…+b₅+2+…+b₆+…+b_k-1+2+…+b_k，
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（2+4+…+2k）
=2×（2^k-1）+k（2+2k）=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2b_k+1=2×2^k+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，∴2^k+1=k²+k，
∵2^k+1为奇数，k²+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1，
综上知，满足题意的正整数只有m=2．

点评：本题考查等比数列的通项公式，累积法求出数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．