Question

设函数f（x）=ax²-x-2a，g（x）=ax+b，其中a，b∈Ra＞0．已知f（1）+g（1）+3=0．
（1）求b的值；
（2）设集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}且A∩B≠ϕ试求a的取值范围
（3）是否存在实数a，使得对于任意的正数x，都有f（x）•g（x）≥0？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点,交集及其运算,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（1）代入求得f（1）=-a-1，g（1）=a+b；从而得到f（1）+g（1）+3=b-1+3=0；从而解得．
（2）化简集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}=[-2a，2a+2]，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}=[-2a-2．-2]；从而解得．
（3）设存在实数a，使得对于任意的正数x，都有f（x）•g（x）≥0；讨论两个函数的正负值即可．

解答： 解：（1）由题意，f（1）=-a-1，g（1）=a+b；
故f（1）+g（1）+3=b-1+3=0；
故b=-2；
（2）∵a＞0，函数f（x）=ax²-x-2a的图象开口向上，
且对称轴为x=

1

2a

＞0；
∴函数f（x）=ax²-x-2a在[-2，0]上单调递减，
且f（-2）=2a+2，f（0）=-2a；
故集合A={y|y=f（x），x∈[-2，0]}=[-2a，2a+2]，
同理，B={y|y=g（x），x∈[-2，0]}=[-2a-2．-2]；
又∵A∩B≠ϕ，
∴-2a≤-2；
故a的取值范围为[1，+∞）．
（3）设存在实数a，使得对于任意的正数x，都有f（x）•g（x）≥0；
当g（x）=ax-2=0时，x=

2

a

，当g（x）＞0时，x＞

2

a

；当g（x）＜0时，0＜x＜

2

a

；
∵函数f（x）=ax²-x-2a的图象开口向上，且f（0）=-2a＜0；
∴函数f（x）=ax²-x-2a必有一正一负两零点，不妨设x₁＜0＜x₂；
则易知只能有x₂=

2

a

；
即f（

2

a

）=0，解得，a=1；
当a=1时，f（x）g（x）=（x-2）²（x+1）≥0；
综上所述，存在唯一实数a=1，使得对于任意的正数x，都有f（x）•g（x）≥0．

点评：本题主要基于对集合的运算、函数的基本性质和函数的零点等基础知识的考查，综合考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力及应用意识和创新意识，考查了函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分类与整合的思想．