Question

18．已知a，b∈R⁺，且$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，则a+b的取值范围是（　　）

• A． [1，4]
• B． [2，+∞）
• C． （2，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 a，b∈R⁺，由$（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥ab，可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$．又$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，可得（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$=5≥（a+b）$（1+\frac{4}{（a+b）^{2}}）$，化简整理即可得出．

解答 解：∵a，b∈R⁺，∴$（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥ab，可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$．
∵$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$，
∴（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$=5≥（a+b）$（1+\frac{4}{（a+b）^{2}}）$，
化为：（a+b）²-5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
则a+b的取值范围是[1，4]．
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．