Question

3．设函数f（x）=|2x-a|+|x+a|（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若关于x的不等式$f（x）＜\frac{5}{x}+a$在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质，求f（x）的最小值；
（2）若关于x的不等式$f（x）＜\frac{5}{x}+a$在x∈[1，2]上有解，利用函数的单调性求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=|{2x-1}|+|{x+1}|=|{x-\frac{1}{2}}|+|{x-\frac{1}{2}}|+|{x+1}|≥0+|{（x-\frac{1}{2}）+（x-\frac{1}{2}）}|=\frac{3}{2}$，
当且仅当$x=\frac{1}{2}$时，取等号．
（2）x∈[1，2]时，$f（x）＜\frac{5}{x}+a⇒|{2x-a}|+x+a＜\frac{5}{x}+a⇒|{a-2x}|＜\frac{5}{x}$$?3x-\frac{5}{x}＜a＜x+\frac{5}{x}$，
所以0＜a＜6．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．