Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BA=CA=CC₁，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 已知ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，取BC的中点0，连接A0，NM，BM，BM∥NO，BC∥NM，那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．

解答 解：∵M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，
取BC的中点0，连接AO，NM，BM，
∴BM∥NO，BC∥NM且BC=2NM，
那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．
设BA=CA=CC₁=2，∠BAC=90°，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AO=$\sqrt{2}$，AN=$\sqrt{5}$，BM=NO=$\sqrt{5}$，
∴cos∠ANO=$\frac{5+5-2}{2•\sqrt{5•\sqrt{5}}}$=$\frac{4}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．