Question

已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为a的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点，
（1）PB与CD所成的角的正弦值；
（2）DB与平面DEF所成的面的余弦值；
（3）点B到平面DEF的距离；
（4）二面角F-DE-B的大小的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：建立如图所示的坐标系，（1）求出

PB

=（a，a，-a），

DC

=（0，a，0），利用向量的夹角公式，即可求PB与CD所成的角的正弦值；
（2）求出平面DEF的法向量，可求DB与平面DEF所成的面的余弦值；
（3）利用DB与平面DEF所成的面的正弦值，求点B到平面DEF的距离；
（4）利用平面DEB的法向量为（0，0，a），平面DEF的法向量为（-1，2，-1），求二面角F-DE-B的大小的正切值．

解答： 解：建立如图所示的坐标系，则
（1）P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），
∴

PB

=（a，a，-a），

DC

=（0，a，0），
∴cos＜

PB

，

DC

＞=

a2

3 a•a

=

3

3

，
∴PB与CD所成的角的正弦值为

6

3

；
（2）F（

a

2

，

a

2

，

a

2

），E（a，

a

2

，0），∴

DF

=（

a

2

，

a

2

，

a

2

），

DE

=（a，

a

2

，0），
设平面DEF的法向量为

n

=（x，y，z），则

ax 2 + ay 2 + az 2 =0 ax+ ay 2 =0

，
取y=2，则x=-1，z=-1，∴

n

=（-1，2，-1），
∵

DB

=（a，a，0），
∴DB与平面DEF所成的面的正弦值为

a

6 • 2 a

=

1

12

，
∴DB与平面DEF所成的面的余弦值为

132

12

=

33

6

；
（3）B到平面DEF的距离为h=

1

12

×

2

a=

6

6

a；
（4）∵平面DEB的法向量为（0，0，a），平面DEF的法向量为（-1，2，-1），
∴二面角F-DE-B的大小的余弦值为|

-a

a• 6

|=

6

6

，
∴二面角F-DE-B的大小的正切值为

5

．

点评：本题考查线线角、线面角、面面角，考查点到平面距离的求法，考查向量知识的运用，属于中档题．