Question

设函数f（x）=lnx-ax+2．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若a＞-e时，函数g（x）=e^x-xf′（x）在[

1

2

，3]上有最大值e³，其中f′（x）的导数，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，从而得到函数的单调区间，极值；（2）由（1）得到函数的解析式，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的值．

解答： 解：（1）由f′（x）=

1-ax

x

，（x＞0），
由a＞0得，当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）递增，在（

1

a

，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（

1

a

）=-lna+1，没有极小值；
（2）由（1）得：g（x）=e^x-xf′（x）=e^x+ax-1，则g′（x）=e^x+a，
①当a≥-

e

时，由

1

2

≤x≤3得g′（x）≥0，g（x）在[

1

2

，3]上递增，
此时g（x）max=g（3），令g（3）=e³+3a-1=e³，解得：a=

1

3

，符合题意；
②当-e＜a＜-

e

时，
由g′（x）＜0得

1

2

＜x＜ln（-a），∴函数g（x）在[

1

2

，3]上递减，
∴g（x）≤g（

1

2

）=

e

+

1

2

a-1＜

e

-

1

2

e

-1＜e³，不合题意，
由g′（x）＞0得ln（-a）＜x≤ln3，∴g（x）在（ln（-a），3]递增，
∴在区间（ln（-a），3]上，g（x）≤g（3）=e³+3a-1＜e³-3

e

-1＜e³，不合题意，
综上，a的值是

1

3

．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了函数的极值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道中档题．