Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，M是BC边的中点，在侧棱CC₁上是否存在点N，使异面直线AB₁与MN所成的角为90°？如果存在，请指出

CN

CC1

的值．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，设在侧棱CC₁上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB₁与MN所成角为90°，求出

AB1

=（1，

3

，0），

MN

=（-

3

2

，-

3

2

，z），利用异面直线AB₁与MN所成角为90°，可得-

3

2

-

3

2

+z=0，即可得出结论．

解答： 解：以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的长度都是2，
∴A（0，0，0），B₁（1，

3

，0），M（

3

2

，

3

2

，0）
设在侧棱CC₁上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB₁与MN所成的角为90°，
∴

AB1

=（1，

3

，0），

MN

=（-

3

2

，-

3

2

，z）
∵异面直线AB₁与MN所成角为90°，
∴-

3

2

-

3

2

+z=0，
解得z=3，不合题意．
∴在侧棱CC₁上是不存在点N，使异面直线AB₁与MN所成的角为90°．

点评：本题考查异面直线AB₁与MN所成的角，考查运算求解能力，推理论证能力，有一定的探索性．