题目内容
已知椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e=
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=3．求证：直线AB过定点，并求该定点．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=3．求证：直线AB过定点，并求该定点．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）依题意，得b=1，且
=
，c2=a2-b2，解出a，b即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理，结合斜率公式，化简整理，由恒成立的思想，即可得到定点．
| c |
| a |
| ||
| 3 |
（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理，结合斜率公式，化简整理，由恒成立的思想，即可得到定点．
解答：
（Ⅰ）解：依题意，得b=1，且
=
，c2=a2-b2，
解得a=
，b=1
则椭圆方程为
+y2=1．
（Ⅱ）证明：显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程，得（3k2+1）x2+6ktx+3（t2-1）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1•x2=
，
由k1+k2=3，得
+
=3，①
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，②
由①，②得2k+（t-1）•
=3，
化简，得t=
．
则直线AB的方程为y=kx+
=k（x+
）-1，
∴直线AB过定点（-
，-1）．
| c |
| a |
| ||
| 3 |
解得a=
| 3 |
则椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程，得（3k2+1）x2+6ktx+3（t2-1）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| -6kt |
| 3k2+1 |
| 3(t2-1) |
| 3k2+1 |
由k1+k2=3，得
| y1-1 |
| x1 |
| y2-1 |
| x2 |
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，②
由①，②得2k+（t-1）•
| 2kt |
| 1-t2 |
化简，得t=
| 2k-3 |
| 3 |
则直线AB的方程为y=kx+
| 2k-3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴直线AB过定点（-
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，结合斜率公式，化简整理，由恒成立的思想，即可得到定点，本题属于中档题．
练习册系列答案
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椭圆
+
=1与双曲线
-y2=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 2 |
| x2 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
