Question

设f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，得x=1或x=-

2

3

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增、递减区间．
（2）由已知得只需使x∈[-1，2]时，f（x）的最大值小于m即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，得x=1或x=-

2

3

，
当x∈（-∞，-

2

3

）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），f（x）的减区间为（-

2

3

，1）．
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，
只需使x∈[-1，2]时，f（x）的最大值小于m即可，
由（1）知f（x）_极大值=f（-

2

3

）=5

22

27

，f（2）=7，
∴f（x）在x∈[-1，2]中的最大值为f（2）=7，
∴m＞7．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．