题目内容

某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为
1
5
、
1
3
、
1
2
，且通过各次测试的事件相互独立．
（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；
（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．
解答： 解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：
（1-
1
5
）（1-
1
3
）（1-
1
2
）=
4
15
，
故甲选手能通过海选的概率为：
1-（1-
1
5
）（1-
1
3
）（1-
1
2
）=
11
15
．
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，
因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1-
1
5
）（1-
1
3
）（1-
1
2
）=
4
15
，
故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是
11
15
．
（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=p1，
P（ξ=2）=（1-p1）p2，
P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）×1，
∴ξ的分布列为：
 ξ 1 2 3
 P p1 （1-p1）p2 （1-p1）（1-p2）
Eξ=p1+2（1-p1）p2+3（1-p1）（1-p2）p3，
分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B
的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，
因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，
即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，则b的值为（　　）
ξ4a9
p0.50.1b
A、0.6B、0.5
C、0.4D、0.1
已知f（x）=lnx，则f（x）的导数为f′（x），则f′（1）的值为（　　）
A、eB、0C、1D、ln2
下列周期为
π
2
的函数为（　　）
A、y=sin（2x+
π
6
）
B、y=2tan（x+
π
7
）
C、y=cos3x
D、y=tan2x
已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）
A、y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B、y=f（x）的图象关于x=
π
2
对称
C、f（x）的最大值为
3
2
D、f（x）既是奇函数，又是周期函数
已知函数f（x）=x3-ax2+4．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求实数a的值；
（2）在区间[1，3]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
已知向量
a
=（1，2），
b
=（-3，4）．
（1）求
a
+
b
与
a
-
b
的夹角；
（2）若
a
⊥（
a
+λ
b
），求实数λ的值．
某厂生产的洗衣机在东南亚销量不错，原计划今年一季度产量逐月增长量相同．但实际情况一月份恰好完成计划，二月份多生产了10台，三月份多生产了25台，结果造成一季度逐月产量增长率相同．且第三月产量比原计划整个一季度的产量的一半少10台．问原计划一季度生产多少台洗衣机，而实际生产了多少台？
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）．M为棱AC的中点．

（1）求证：AD⊥BC；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，求直线BM与面ACD所成角的正弦值．

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