Question

4．（Ⅰ）已知α为第二象限的角，化简：$cosα\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$．
（Ⅱ）计算$cos\frac{25π}{6}+cos\frac{25π}{3}+tan（{-\frac{25π}{4}}）+sin\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数在各个象限中的符号，利用三角恒等变换化简$cosα\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$，可得结果．
（Ⅱ）利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosα\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}+sinα\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$=$cosα\sqrt{\frac{{{{（{1-sinα}）}^2}}}{{1-{{sin}^2}α}}}+sinα\sqrt{\frac{{{{（{1-cosα}）}^2}}}{{1-{{cos}^2}α}}}$=$cosα\frac{1-sinα}{{|{cosα}|}}+sinα\frac{1-cosα}{{|{sinα}|}}$，
∵α是第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，
∴$cosα\frac{1-sinα}{{|{cosα}|}}+sinα\frac{1-cosα}{{|{sinα}|}}$=$cosα×\frac{1-sinα}{-cosα}$+$sinα×\frac{1-cosα}{sinα}$=sinα-1+1-cosα=sinα-cosα，
即原式=sinα-cosα．
（Ⅱ）$cos\frac{25π}{6}+cos\frac{25π}{3}+tan（{-\frac{25π}{4}}）+sin\frac{5π}{6}$=cos$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{3}$+tan（-$\frac{π}{4}$）+sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．