题目内容
5．在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率．分析 根据题意，设M（x0，y0），分析可得P的坐标，分析可得$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，即可得M的轨迹是椭圆，由椭圆的标准方程分析可得其焦点坐标以及离心率．
解答 解：根据题意，设M（x0，y0），又由线段PD的中点M，则P（x0，2y0），
点P在圆上运动，所以$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，
所以点M的轨迹是椭圆，
该椭圆的焦点是$（{±\sqrt{3}，0}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
点评 本题考查曲线的轨迹方程，涉及椭圆的几何性质，关键是求出轨迹的方程．
练习册系列答案
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如图所示，某中学兴趣小组设计的自动小车按下面程序运行：
20．k为何值时，直线y=kx+2 和椭圆 2x2+3y2=6相交（ ）
| A． | $\{k\left|{k＞\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.或k＜-\frac{{\sqrt{6}}}{3}\}$ | B． | $\{k\left|{-\frac{{\sqrt{6}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.\}$ | C． | $\{k\left|{k≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.或k≤-\frac{{\sqrt{6}}}{3}\}$ | D． | $\{k\left|{-\frac{{\sqrt{6}}}{3}≤k≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.\}$ |
如图，三棱锥O-ABC中，AO⊥平面OBC，且OA=OB=OC=2，∠BOC=60°，点E，F分别是AB，AC的中点，H为EF的中点，过EF的动平面与线段OA交于点A1，与线段OB，OC的延长线分别相交于点B1，C1．
14．
如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）| A． | 27π | B． | 48π | C． | 64π | D． | 81π |