Question

12．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1上找一点P，使P点到直线2x-4y-31=0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是（2，-3）．

Answer 1

分析 方法一：设P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据正弦函数的性质，sin（θ-$\frac{π}{6}$）=-1时，d取最小值，即可求得P点坐标；
方法二：设过P点与直线2x-4y-31=0平行的切线方程为直线2x-4y+m=0，代入椭圆方程由△=0，即可求得m的值，即可求得P点坐标．

解答 解：方法一：设P点坐标（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ≤2π，
则P到直线2x-4y-31=0的距离d=$\frac{丨8cosθ-8\sqrt{3}sinθ-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$丨16sin（θ-$\frac{π}{6}$）+31丨，
当sin（θ-$\frac{π}{6}$）=-1时，d取最小值，则θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，则θ=$\frac{5π}{3}$，
4cos$\frac{5π}{3}$=2，2$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{3}$=-3
∴P（2，-3），
故答案为：（2，-3）．
方法二：设过P点与直线2x-4y-31=0平行的切线方程为直线2x-4y+m=0，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²+mx+$\frac{1}{4}$m²-48=0，
则△=m²-4×4（$\frac{1}{4}$m²-48）=0，解得：m=±16，
当m=16时，2x-4y+16=0，
整理得：x²+4x+4=0，解得：x=-2，则y=3，
P（-2，3）到直线2x-4y-31=0的距离d=$\frac{丨2×（-2）-4×3-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{47\sqrt{5}}{10}$，
当m=-16时，2x-4y-16=0，整理得：x²-4x+4=0，解得：x=2，则y=-3，
P（2，-3）到直线2x-4y-31=0的距离d=$\frac{丨2×2-4×（-3）-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴当P（2，-3）到直线2x-4y-31=0的距离最小，
故答案为：（2，-3）．

点评 本题考查椭圆的参数方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．