题目内容
19．
函数$f（x）=2\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，且${x_0}∈（-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}）$，求f（x0+1）的值；
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标变为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到y=g（x）的图象，若关于x的方程2[g（x）]2-4ag（x）+1-a=0在区间[0，π]上有两个不同解，求实数a的取值范围．
分析 （1）由周期公式可求ω，由正弦函数的性质可求值域．
（2）由已知及（1）可求sin （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$），结合范围x0∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），得 $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可求cos （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$），故f（x0+1）=2$\sqrt{3}$sin （ $\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π{x}_{0}}{4}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]利用两角和的正弦函数公式即可求值．
（3）根据函数变换规律得到新的函数解析式为：g（x）=sinx，x∈[0，π]，令t=g（x），t∈[0，1]，则2t2-4at+1-a=0．若要使得关于x的方程在[0，π]上有两个不同的根，则关于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，据此求得实数a的取值范围．
解答 解：（1）由于正三角形ABC的高为2$\sqrt{3}$，则BC=4，
所以，函数$f（x）的周期T=4×2=8，即\frac{2π}{ω}=8，得ω=\frac{π}{4}$，
所以，函数$f（x）的值域为[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．
（2）因为$f（{x_0}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}，由$（1）有$f（{x_0}）=2\sqrt{3}sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，$即sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\frac{4}{5}$，
由${x_0}∈（-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}），知\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
所以$cos（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）=\sqrt{1-{{（\frac{4}{5}）}^2}}=\frac{3}{5}$．
故f（x0+1）=$2\sqrt{3}sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）$=$2\sqrt{3}sin[（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）+\frac{π}{4}]$
$\begin{array}{l}=2\sqrt{3}[sin（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+cos（\frac{{π{x_0}}}{4}+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}]\\=2\sqrt{3}（\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}）\end{array}$
=$\frac{{7\sqrt{6}}}{5}$．
（3）由题可知g（x）=sinx，x∈[0，π]，令t=g（x），t∈[0，1]，
则2t2-4at+1-a=0．
若要使得关于x的方程在[0，π]上有两个不同的根，则关于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，所以有以下几种情况
?①f（0）•f（1）＜0，
解得$\frac{3}{5}$＜a＜1；
②△=0，
解得a=$\frac{1}{2}$或a=-1．
当$a=\frac{1}{2}$时，$t=\frac{1}{2}$，满足题意；
当a=-1时，t=-1，不符合题意，舍去a=-1．
?当t=0时，解得a=1，此时另一个根t=2不在[0，1）上，所以a=1符合题意．
综上所述a的取值范围是$\left\{{a|\frac{3}{5}}\right.＜a≤1或a=\frac{1}{2}\left.{\;}\right\}$．
点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
| x | 6 | 8 | 10 | 12 |
| y | 2 | 3 | 5 | 6 |
（2）试根据已求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：$\left\{{\begin{array}{l}{\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}}\\{\hat a=\bar y-\hat b\bar x}\end{array}}\right.$．
| A． | $\{k\left|{k＞\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.或k＜-\frac{{\sqrt{6}}}{3}\}$ | B． | $\{k\left|{-\frac{{\sqrt{6}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.\}$ | C． | $\{k\left|{k≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.或k≤-\frac{{\sqrt{6}}}{3}\}$ | D． | $\{k\left|{-\frac{{\sqrt{6}}}{3}≤k≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}}\right.\}$ |