Question

若函数f（x）的定义域和值域均为区间G，则称区间G为函数f（x）的“管控区间”．
（1）求函数f（x）=x²-2x形如[a，+∞）（a∈R）的“管控区间”；
（2）函数g（x）=|1-

1

x

|（x＞0）是否存在形如[a，b]的“管控区间”，若存在，求出实数a、b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“管控区间的概念求解即可；
（2）分类讨论函数的单调性，使其满足函数有”管控区间，列方程解方程即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²─2x=（x─1）²─1，∴f（x）的值域为[─1，+∞）．
故[─1，+∞）是函数f （x）的一个“管控区间”．
又函数f（x）的图象与y=x有一个交点（3，3），∴[3，+∞）也是函数f（x）的一个“管控区间”．
综上，函数f（x）有两个形如[a，+∞）的“管控区间”[─1，+∞）和[3，+∞）…（6分）
（2）若存在实数a、b使得函数g（x）=|1─

1

x

|（x＞0）有形如[a，b]的“管控区间”，则a＞0．
∵g（x）=|1─

1

x

|=

1- 1 x ，(x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

．
∴①当a，b∈（0，1）时，g（x）=

1

x

─1在（0，1）上为减函数．
故

g(a)=b g(b)=a

⇒

1 a -1=b 1 b -1=a

⇒a=b，与a＜b矛盾．
②当a，b∈[1，+∞）时，g（x）=1─

1

x

在[1，+∞）上为增函数．
故

g(a)=a g(b)=b

即

1- 1 a =a a- 1 b =b

，
又a，b是x²-x+1=0的根，但次方程无解，
故不存在满足条件的实数a，b．
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而g（1）=0，
综上，不存在满足条件的实数a，b．

点评：考查学生求函数定义域、值域的能力，以及利用导数研究函数增减性的能力．