Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+2f（2），若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（3）=2，则f（2015）等于（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数f（x）的奇偶性以及函数的周期性，将条件进行转化即可．

解答： 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴当函数y=f（x-1）的图象向左平移1个单位得到函数y=f（x）的图象，即函数f（x）关于直线x=0对称，
则函数f（x）为偶函数，
令x=-2，
则由f（x+4）=f（x）+2f（2），得f（-2+4）=f（-2）+2f（2），
即f（2）=f（2）+2f（2），即f（2）=0，
则f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），
即函数f（x）的周期为4，
则f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=2，
故选：A

点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数f（x）的奇偶性以及函数的周期性是解决本题的关键．