Question

若定义在区间[-2014，2014]上的函数，f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，若f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）

• A、4024
• B、2013
• C、2012
• D、4026

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据：对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，
得出f（0）=2012，f（x）+f（-x）=4024，x∈[-2014，2014]恒成立，可判断f（x）的图象关于（0，2012）对称，运用函数图象的特殊性可以判断出答案．

解答： 解：∵对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，
∴f（x₂-x₁）＞2012，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-2012
=f（x₂-x₁）-2012＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间[-2014，2014]上单调递增，
∴M=f（2014），N=f（-2014），
∵对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，
∴f（0）=2f（0）-2012，即f（0）=2012，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-2012
即f（x）+f（-x）-2012=f（0），
f（x）+f（-x）=4024
∴M+N的值为4024，
故选：A

点评：本题综合考察了函数的性质，思维量较大，属于难题．