Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）-af（x）≥f（x）．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）依题意，f（x-1）+f（1-x）≤2?|x-2|+|x|≤2，通过对x≤0与0＜x＜2及x≥2的讨论分析，去掉绝对值符号，即可求得原不等式的解集；
（Ⅱ）利用绝对值不等式，a＜0时，可得f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），从而可证结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x-1）+f（1-x）=|x-2|+|x|．
因此只须解不等式|x-2|+|x|≤2．
当x≤0时，原不式等价于2-x-x≤2，即x≥0，所以x=0．
当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x＜2．
当x≥2时，原不式等价于x-2+x≤2，即x≤2，所以x=2．
综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）∵f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，
又a＜0时，|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），
∴a＜0时，f（ax）-af（x）≥f（x）．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x≤0与0＜x＜2及x≥2的讨论分析，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．