题目内容

某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示．
（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；
（2）据此估计2012年该城市人口总数．
年份2007+x（年） 0 1 2 3 4
人口数y（十万） 5 7 8 11 19
参考公式：
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
?
a
=
.
y
-
?
b
.
x
．
考点：线性回归方程
专题：计算题,概率与统计
分析：（1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程．
（2）把x=5代入线性回归方程，得到y=19.6，即2015年该城市人口数大约为19.6（十万）．
解答： 解：（1）由题意，
.
x
=2，
.
y
=10，0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，
5
i=1
xi2=30，
∴
∧
b
=
132-5×2×10
30-5×4
=3.2
∴10=3.2×2+a，
∴a=3.6
∴回归直线方程为y=3.2x+3.6
（2）把x=5代入线性回归方程，得到y=3.2×5+3.6=19.6（十万）．
点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确利用最小二乘法公式，写出正确结果．
练习册系列答案
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已知全集U=R，集合A=﹛x|x-2＞0﹜，B=﹛x|x|≤1﹜．则（∁UA）∪B=（　　）
A、{x|-1≤x≤1}
B、{x|-1≤x≤1或x＞2}
C、{x|-1≤x≤2}
D、{x|x≤2}
已知函数f（x）=sinωx•cosωx+sin2ωx-
1
2
（ω＞0），其相邻两个零点间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）锐角△ABC中，f（
A
2
+
π
8
）=
1
2
，AB=4，△ABC的面积为6，求BC的值．
已知函数f（x）=Asin（φx+φ）的图象，如图求：
（1）f（x）的解析式
（2）f（x）的单调增区间
（3）使f（x）＜0的x的取值集合．
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得：
10
i-1
xi=80，
10
i-1
yi=20，
10
i-1
xiyi=184，
10
i-1
x
2
i
=720．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程
y
=
b
x+
a
；
（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为8000元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程
y
=
b
x+
a
中，
b
=
n
i-1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i-1
x
2
i
-n
-2
x
，
a
=
.
y
-
b
.
x
，其中
.
x
，
.
y
为样本平均值．
化简求值：
（1）化简：a2cos0-b2sin
3π
2
-abcosπ+absin
π
2
；
（2）求值：
3
4
tan2
π
6
+tan
π
4
-cos2
π
3
-2sin
π
2
．
设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8．
已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处且倾斜角为
π
3
的切线方程；
（2）若不等式g（x）＜
x+m
x
有解，求实数m的取值范围；
（3）定义：对于函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的差值．证明：当a=0时，函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有差值都大于2．
已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）-af（x）≥f（x）．

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