Question

依次计算a₁=2×（1-

1

4

），a₂=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

），a₃=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

），a₄=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）（1-

1

25

），猜想a_n=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）…（1-

1

(n+1)2

）结果并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先计算、猜想，再利用数学归纳法进行证明．

解答： 解：a₁=2×（1-

1

4

）=

3

2

，a₂=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）=

4

3

，a₃=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）=

5

4

，a₄=2×（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）（1-

1

25

）=

6

5

，
猜想：a_n=

n+2

n+1

证明：（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N₊）命题成立，即a_k=

k+2

k+1

则当n=k+1时，a_k+1=a_k•[1-

1

(k+2)2

]=

k+3

k+2

∴命题成立
由（1）（2）可知，a_n=

n+2

n+1

对n∈N₊成立．

点评：本题考查归纳猜想，考查数学归纳法证明等式，解题的关键是先猜后证．