Question

已知函数f（x）=2cos²

1

2

（ωx+φ）-2

3

sin

1

2

（ωx+φ）cos

1

2

（ωx+φ）（ω＞0.0＜φ＜

π

2

）其图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且过点（-

π

6

，2）．
（Ⅰ）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）若f（

α

2

-

π

6

）=

1

2

，α是第三象限角，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据二倍角公式、两角和的余弦函数公式化简解析式，再由条件求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，再把点代入结合条件和特殊角的余弦值求出φ的值，代入解析式化简即可；
（Ⅱ）根据题意把

α

2

-

π

6

代入解析式化简可得cos(α+

π

3

)=-

1

4

，再根据角的所在的象限和平方关系求出sin（α+

π

3

）的值，根据两角差的余弦函数公式求出
cosα=cos[（α+

π

3

）-

π

3

]的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=2cos²

1

2

（ωx+φ）-2

3

sin

1

2

（ωx+φ）cos

1

2

（ωx+φ）
=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）+1
=2cos[(ωx+φ)+

π

3

]+1，
由图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

得，函数的周期T=π，
所以

2π

ω

=π，得ω=2，
又过点（-

π

6

，2），则2cos[(-

π

3

+φ)+

π

3

]+1=2，
化简得，cosφ=

1

2

，
由0＜φ＜

π

2

得，φ=

π

3

，
所以f(x)=2cos(2x+

2π

3

)+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(

α

2

-

π

6

)=2cos[2(

α

2

-

π

6

)+

2π

3

]+1=

1

2

，
化简得，cos(α+

π

3

)=-

1

4

，
因为α是第三象限角，且cos(α+

π

3

)=-

1

4

＜0，
则角α+

π

3

是第三象限，
所以sin（α+

π

3

）=-

1-cos2(α+ π 3 )

=-

15

4

，
所以cosα=cos[（α+

π

3

）-

π

3

]=cos（α+

π

3

）cos

π

3

+sin（α+

π

3

）sin

π

3

=-

1

4

×

1

2

+(-

15

4

)×

3

2

=-

1+3 5

8

．

点评：本题考查了二倍角公式、两角和差的余弦函数公式，以及余弦函数的性质，考查变角在求三角函数值中的应用．