Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，椭圆C上任意一点到右焦点F距离的最大值为2+

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A，B两点，点N满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）根据题意建立关于a、b、c的方程组，解之可得a=2且b=1，从而得到该椭圆的标准方程；
（II）确定四边形OANB为平行四边形，则S_OANB=2S_△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，则b=1；
椭圆C上任意一点到右焦点F距离的最大值为2+

3

，则a+c=2+

3

，
∴a=2，c=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）因为

ON

=

OA

+

OB

，所以四边形OANB为平行四边形，
当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，由

y=kx-2 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，得k2＞

3

4

∴x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

…（8分）∵S△OAB=

1

2

|OD||x1-x2|=|x1-x2|，∴S平行四边形OANB=2S△OAB=2|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

( 16k 1+4k2 )2-4 12 1+4k2

=2

162k2-48(1+4k2) (1+4k2)2

=8

4k2-3 (1+4k2)2

…（10分）
令4k²-3=t，则4k²=t+3（由上可知t＞0），S平行四边形OANB=8

t (t+4)2

=8

1 8+t+ 16 t

≤8

1 16

=2，
当且仅当t=4，即k2=

7

4

时取等号；∴当k=±

7

2

，平行四边形OANB面积的最大值为2
此时直线l的方程为y=±

7

2

x-2…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．