题目内容
如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=| π |
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| 3 |
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABE；
（Ⅱ）求直线AF与平面ABCD所成的角的大小．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）由已知得AB∥CD，由此得到平面ABE∥平面DCF，从而能证明DF∥平面ABE．
（Ⅱ）过点E作GE⊥CF交CF于点G，分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ABCD所成的角．
（Ⅱ）过点E作GE⊥CF交CF于点G，分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ABCD所成的角．
解答：
（Ⅰ）证明：∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵BE∥CF，AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF，
∵DF?平面DCF，∴DF∥平面ABE．
（Ⅱ）解：过点E作GE⊥CF交CF于点G，
由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD=
，又EF=2，∴GF=1
∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC
∵∠BCF=
，∴FC⊥BC，
又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CD，
∴分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BE=m，
=λ，则AB=λm，
∴A（
，λm，0），E（
，0，m），F（0，0，m+1），D（0，λm，0），
平面AFE的法向量
=（λ，
，
λ），又CD⊥面CEF，
∴
=（0，λm，0）是平面CEF的一个法向量，
∴cos
=|
，
|=
=
，解得λ=
，
∵AD=
，EF=2CD=2，∴AB=1，
∴BE=
，∴CF=
，
∴F（0，0，
），A（
，1，0），
=(-
，-1，
)，
又平面ABCD的法向量
=（0，0，1），
设直线AF与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=
=
．
∴直线AF与平面ABCD所成的角为arcsin
．
∵BE∥CF，AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF，
∵DF?平面DCF，∴DF∥平面ABE．
（Ⅱ）解：过点E作GE⊥CF交CF于点G，
由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD=
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∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC
∵∠BCF=
| π |
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又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC
∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥CD，
∴分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BE=m，
| AB |
| BE |
∴A（
| 3 |
| 3 |
平面AFE的法向量
| n |
| 3 |
| 3 |
∴
| CD |
∴cos
| π |
| 3 |
| CD |
| n |
| ||
λm•
|
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵AD=
| 3 |
∴BE=
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴F（0，0，
| 5 |
| 3 |
| 3 |
| AF |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
又平面ABCD的法向量
| n |
设直线AF与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜
| AF |
| n |
| ||||
|
5
| ||
| 61 |
∴直线AF与平面ABCD所成的角为arcsin
5
| ||
| 61 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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