题目内容
国家质量技术监督总局对某工厂生产的六年、九年、十二年三种被怀疑有问题的白酒进行甲醇和塑化剂含量检测，测试过程相互独立，其中通过甲醇含量检测的概率分别为
，
，
，通过塑化剂含量检测的概率分别为
，
，
，两项检测均通过的白酒则认为其达标．
（1）求三种白酒仅有一种达标的概率；
（2）检测后不达标的白酒将停产整改，求停产整改的白酒种数X的分布列及数学期望．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（1）求三种白酒仅有一种达标的概率；
（2）检测后不达标的白酒将停产整改，求停产整改的白酒种数X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（1）分别记六年、九年、十二年白酒通过甲醇含量检测的为事件Ai，i=1，2，3，通过塑化剂检测的为事件Bi，i=1，2，3，则六年白酒达标的概率p1=
×
=
，九年白酒达标的概率p2=
×
=
，十二年白酒达标的概率p3=
×
=
，由此能求出三种白酒仅有一种达标的概率．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应在概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应在概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答：
解：（1）分别记六年、九年、十二年白酒通过甲醇含量检测的为事件Ai，i=1，2，3，
通过塑化剂检测的为事件Bi，i=1，2，3，
则六年白酒达标的概率p1=
×
=
，九年白酒达标的概率p2=
×
=
，
十二年白酒达标的概率p3=
×
=
，
设E表示检测后仅有一种达标的事件，
则P（E）=p1（1-p2）（1-p3）+（1-p1）p2（1-p3）+（1-p1）（1-p2）p3
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=p1p2p3=
×
×
=
，
P（X=1）=p1p2（1-p3）+p1（1-p2）p3+（1-p1）p2p3
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P（X=2）=p1（1-p2）（1-p3）+（1-p1）p2（1-p3）+（1-p1）（1-p2）p3
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P（X=3）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）=
×
×
=
，
∴X的分布列为：
∴E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
通过塑化剂检测的为事件Bi，i=1，2，3，
则六年白酒达标的概率p1=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
十二年白酒达标的概率p3=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
设E表示检测后仅有一种达标的事件，
则P（E）=p1（1-p2）（1-p3）+（1-p1）p2（1-p3）+（1-p1）（1-p2）p3
=
| 1 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 46 |
| 135 |
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=p1p2p3=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 270 |
P（X=1）=p1p2（1-p3）+p1（1-p2）p3+（1-p1）p2p3
=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 17 |
| 270 |
P（X=2）=p1（1-p2）（1-p3）+（1-p1）p2（1-p3）+（1-p1）（1-p2）p3
=
| 1 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 1 |
| 6 |
| 46 |
| 135 |
P（X=3）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）=
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 9 |
| 5 |
| 6 |
| 16 |
| 27 |
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 270 |
| 17 |
| 270 |
| 46 |
| 135 |
| 16 |
| 27 |
| 277 |
| 90 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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