Question

已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的x∈[0，

π

2

]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先求出f′（x），然后分别求出当f'（x）＞0、f'（x）＜0时x的取值范围，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx总成立，只需x∈[0，

π

2

]时g（x）_min≥0，求出g'（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），再求出h'（x），（x∈(0，

π

2

)），所以h（x）在[0，

π

2

]上为增函数，所以h(x)∈[1，e

π

2

]；最后对k分类讨论，求出实数k的取值范围即可．

解答： 解：（1）由于f（x）=e^xsinx，
所以f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)，
当x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)时，f'（x）＞0；
当x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)时，f'（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)（k∈Z），
单调递减区间为(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)（k∈Z）；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，
要使f（x）≥kx总成立，只需x∈[0，

π

2

]时g（x）_min≥0，
对g（x）求导，可得g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），
则h'（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）
所以h（x）在[0，

π

2

]上为增函数，
所以h(x)∈[1，e

π

2

]；
对k分类讨论：
①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，
所以g（x）在[0，

π

2

]上为增函数，
所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②当1＜k＜e

π

2

时，g'（x）=0在上有实根x₀，
因为h（x）在(0，

π

2

)上为增函数，
所以当x∈（0，x₀）时，g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合题意；
③当k≥e

π

2

时，g'（x）≤0恒成立，
所以g（x）在(0，

π

2

)上为减函数，
则g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，可得实数k的取值范围是（-∞，1]．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．