题目内容
已知a为给定的正实数，m为实数，函数f（x）=ax3-3（m+a）x2+12mx+1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．
（Ⅰ）若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ） 由题意得f′（x）=3ax2-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），由此利用导数性质能求出m=a．
（Ⅱ） 由f′（x）=3（x-2）（ax-2m），利用分类讨论思想和导数性质能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ） 由f′（x）=3（x-2）（ax-2m），利用分类讨论思想和导数性质能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ） 由题意得
f′（x）=3ax2-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），
由于f（x）在（0，3）上无极值点，故
=2，
所以m=a．…（5分）
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（ax-2m），故：
（i） 当
≤0或
≥3，即m≤0或m≥
a时，
取x0=2即满足题意．此时m≤0或m≥
a．
（ii） 当0＜
＜2，即0＜m＜a时，列表如下：
故f（2）≤f（0）或f（
）≥f（3），
即-4a+12m+1≤1或
+1≥9m+1，
即3m≤a或
≥0，
即m≤
或m≤0或m=
．
此时0＜m≤
．
（iii） 当2＜
＜3，即a＜m＜
时，列表如下：
故f（
）≤f（0）或f（2）≥f（3），
即
+1≤1或-4a+12m+1≥9m+1，
即
≤0或3m≥4a，
即m=0或m≥3a或m≥
．
此时
≤m＜
．
综上所述，实数m的取值范围是m≤
或 m≥
． …（14分）
f′（x）=3ax2-6（m+a）x+12m=3（x-2）（ax-2m），
由于f（x）在（0，3）上无极值点，故
| 2m |
| a |
所以m=a．…（5分）
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（ax-2m），故：
（i） 当
| 2m |
| a |
| 2m |
| a |
| 3 |
| 2 |
取x0=2即满足题意．此时m≤0或m≥
| 3 |
| 2 |
（ii） 当0＜
| 2m |
| a |
| x | 0 | （0，
|
| （
| 2 | （2，3） | 3 | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
| 2m |
| a |
即-4a+12m+1≤1或
| -4m3+12m2a |
| a2 |
即3m≤a或
| -m(2m-3a)2 |
| a2 |
即m≤
| a |
| 3 |
| 3a |
| 2 |
此时0＜m≤
| a |
| 3 |
（iii） 当2＜
| 2m |
| a |
| 3a |
| 2 |
| x | 0 | （0，2） | 2 | （2，
|
| （
| 3 | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
| 2m |
| a |
即
| -4m3+12m2a |
| a2 |
即
| -4m2(m-3a) |
| a2 |
即m=0或m≥3a或m≥
| 4a |
| 3 |
此时
| 4a |
| 3 |
| 3a |
| 2 |
综上所述，实数m的取值范围是m≤
| a |
| 3 |
| 4a |
| 3 |
点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．
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