Question

【题目】已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） ，定值为1.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由可得，再根据离心率求得，由此可得，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 与直线的斜率，结合根与系数的关系可得

，根据此式的特点可得当时，为定值．

试题解析：

（Ⅰ）依题意得、，，

∴，

解得．

∵，

∴，

∴，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）假设存在满足条件的点.

当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.

因此直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去整理得

，

设、，

则，，

∵

，

∴要使对任意实数，为定值，则只有，

此时．

故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．