[题目]已知椭圆的离心率为..为椭圆的左.右焦点.为椭圆上的任意一点.的面积的最大值为1..为椭圆上任意两个关于轴对称的点.直线与轴的交点为.直线交椭圆于另一点.(1)求椭圆的标准方程,(2)求证:直线过定点. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：直线过定点.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由离心率及的面积的最大值为1，即可求得，，从而求得椭圆的标准方程；（2）设，，且，由题意得且直线的斜率必存在，设：，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，得，即可表示直线：，根据对称性可知直线过的定点必在轴上，从而求出定点坐标.

试题解析：（1）∵当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1

∴

∵，

∴

∴椭圆C标准方程为：

（2）设，且，

∵

∴

由题意知的斜率必存在，设：，代入得，由得，.

∵

∴斜率必存在，：

由对称性易知直线过的定点必在轴上，则当时，得，即在的条件下，直线AE过定点（1，0）.

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解析：（1）证明：∵四边形为菱形，，

∴为正三角形.又为的中点，∴.

又，因此.

∵平面，平面，∴.

而平面，平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如图，为上任意一点，连接， .

当线段长的最小时，，由（1）知，

∴平面，平面，故.

在中，，，，

∴，

由中，，，∴.

由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别是，的中点，

可得，，，，

，，，

所以， .

设平面的一法向量为，

则因此，

取，则，

因为，，，所以平面，

故为平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.

【题型】解答题
【结束】
20

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