题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
是平行四边形,
,
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论.(Ⅱ)运用几何法和坐标法两种方法求解,利用坐标法求解时,在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上,通过图形判断出二面角的大小,最后才能得到结论.
试题解析:
解法一:(Ⅰ)取中点
,连
,
∵,
∴,
∵是平行四边形,
,
,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴平面
,
∴.
∵分别是
的中点,
∴∥
,
∥
,
∴,
,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
∴是二面角
的平面角.
,
,
,
在中,根据余弦定理得
,
∴二面角的余弦值为
.
解法二:(Ⅰ)∵是平行四边形,
,
,∴
,
∴是等边三角形,∵
是
的中点,
∴,∵
∥
,
∴.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
设,由
,
,
可得,
,
,
∴,
∵是
的中点,∴
,
∵,
∴,
∵,
,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
设是平面
的法向量,
由,得
,
令,则
.
又是平面
的法向量,
∴,
由图形知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位:千万立方米)与年份
(单位:年)之间的关系.并且已知
关于
的线性回归方程是
,试确定
的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;
(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A类:每车补贴1万元,B类:每车补贴2.5万元,C类:每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:
类型 |
|
|
|
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”,求
的分布列及期望.