Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），直线l过点A（a，0）和B（0，b），若原点O到直线l的距离为

3 c

4

（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2 3

  3

  或2
• B、

  2

• C、

  2 3

  3

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到3e⁴-16e²+16=0，解方程即可得到离心率，注意条件0＜a＜b，则有e²＞2，注意取舍．

解答： 解：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即为bx+ay-ab=0，
c²=a²+b²，
原点O到直线l的距离d=

|0+0-ab|

a2+b2

=

3

4

c，
即有4ab=

3

c²，
即16a²b²=3c⁴，即16a²（c²-a²）=3c⁴，
16a²c²-16a⁴-3c⁴=0，
由于e=

c

a

，则3e⁴-16e²+16=0，
解得，e=2或

2 3

3

．
由于0＜a＜b，即a²＜b²，即有c²＞2a²，即有e²＞2，
则e=2．
故选D．

点评：本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．