Question

已知二次函数f（x）=ax²-x+c同时满足下列二个条件：①f（0）=1，②方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设h（x）=x²-mx+2，若在区间[1，3]上，f（x）＞h（x）恒成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先求出c，再利用判别式，建立方程，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）利用分离参数法，再求出对应函数在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（0）=1，∴c=1；
∵方程f（x）=x有两个相等的实数根，
∴方程ax²-2x+1=0有两个相等的实数根，
∴△=4-4a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）f（x）＞h（x），即m＞1+

1

x

，
∵x∈[1，3]，∴1+

1

x

∈[

4

3

，2]，
∵在区间[1，3]上，f（x）＞h（x）恒成立，
∴m＞2．

点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．