Question

已知圆O的方程为x²+y²=25，设点P（x₁，y₁），直线m：x₁x+y₁y=25．
（1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；
（2）若点P在圆O上，且x₁=3，y₁＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．
①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；
②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,直线的斜率

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由点P在圆O内，求得圆心到直线的距离d大于半径，可得直线和圆相离．
（2）①由条件求得点P（3，4），若直线PA过点O，求得PA的斜率，可得PB的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠APB的值；
②求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵点P在圆O内，∴圆心到直线l的距离d=

25

x12+y12

＞5，
∴直线l与圆O相离；                         
（2）①点P在圆O上，且x₁=3，y₁＞0，得y₁=5，即P（3，4）．
由题意，AP是圆的直径，所以点P的坐标为（-3，-4），且k_AP=

4

3

．
又直线PA，PB的斜率互为相反数，所以k_PB=-

4

3

∴tan∠APB=-

24

7

；
②记直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y=kx+4-3k．
将y=kx+4-3k代入圆O的方程得：x²+（kx+4-3k）²=25，
化简得：（k²+1）x²+2k（4-3k）x+（4-3k）²-25=0，
∵3是方程的一个根，∴3x_A=

(4-3k)2-25

k2+1

，∴x_A=

3k2-8k-3

k2+1

由题意知：k_PB=-k，同理可得，x_B=

3k2+8k-3

1-k2

∴k_AB=k•

xA+xB-6

xA-xB

=

3

4

即kAB=

3

4

．

点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．